Sequência de Aulas - Compreendendo o Teorema de Pitágoras
Autora: Professora Dolores Follador
1. Nível de ensino: Ensino Fundamental – 9º ano
2. Conteúdo Estruturante: Grandezas e Medidas
2.1 Conteúdo Básico: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2.2 Conteúdo Específico: Teorema de Pitágoras
3. Objetivo
- Compreender a demostração geométrica do Teorema de Pitágoras.
4. Número de aulas estimado: 4 aulas
5. Justificativa
Considerado um dos alicerces da Matemática, o Teorema de Pitágoras permite construir e generalizar diversas situações matemáticas. Trata-se, segundo Bastiam (2000, p. 1) “de um vasto campo, compreendendo múltiplos aspectos. Poderíamos focalizar a parte histórica e epistemológica, dada a importância do Teorema de Pitágoras na discussão dos 'incomensuráveis'; ou o objeto matemático possuidor de quase 400 demonstrações”.
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Dentre as muitas aplicações do Teorema de Pitágoras Bastiam (2000, p. 60) destaca a importância de seu ensino nos anos finais Ensino Fundamental para prosseguimento dos estudos em Matemática, a saber: cálculo de diagonal – quadrado, retângulo, losango, trapézio (dependendo dos dados); altura de triângulo equilátero, isósceles, trapézio; comprimento de segmentos de tangente, cordas; relações entre lado, apótema e raio para polígonos inscritos e circunscritos; construção com régua e compasso de segmentos de medidas 5, 3, 2 etc.; distância entre dois pontos no plano cartesiano; equação de uma circunferência; estabelecimento da relação sen²x + cos²x = 1; problemas práticos como, por exemplo, determinação do comprimento de correia, envolvendo polias; (tangente comum a duas circunferências dadas); elementos de circunferências tangentes. Para o Ensino Médio Bastiam (2000, p. 60) enumera a importância de conhecer o Teorema de Pitágoras para que os estudantes possam calcular a diagonal de cubo, paralelepípedo, prismas em geral; relação entre altura, apótema da base e apótema de pirâmides regulares: relação entre altura, raio do círculo circunscrito à base e aresta lateral em pirâmides regulares; relação entre altura, geratriz e raio da base num cone reto; distância de um plano secante, ao centro de uma esfera, em relação ao raio da esfera e ao raio da secção; módulo de um número complexo z = (x, y); numa elipse de eixo maior medindo 2a, eixo menor 2b e distancia focal 2c; numa hipérbole, c²= a²+ b² quando: 2a = medida do eixo real; 2b = medida do eixo imaginário; 2c = distância focal.
Dentre as aplicações mais básicas deste teorema em situações cotidianas pode-se destacar problemas simples de cálculo de medidas de comprimento como, por exemplo o problema: “uma escada de 5 m de comprimento está apoiada num muro. O pé da escada está afastado 3 m da base do muro. Qual é a altura, no muro, que a escada alcança?”.
Destaca-se que este teorema também possui grande importância no estudo da Física como, por exemplo, para obtermos o módulo do vetor resultante, entre outras aplicações.
Além da importância do ensino deste teorema queremos também justificar a metodologia sugerida nesta sequência de aulas para seu ensino. Aqui, queremos destacar que esse ensino pode ir muito além da apresentação da fórmula (a² = b² + c²) em que se limita a ensinar a calcular a medida do terceiro lado quando se conhece as medidas de dois dos lados de um triângulo retângulo. A intenção nesta sequência de aulas é iniciar o trabalho com o Teorema de Pitágoras a partir de um contexto de simples aplicação de fórmula e evoluir para contextos em que o estudo dos triângulos em geral faz mais sentido.
Do contexto do estudo das características dos triângulos em geral parte-se para o estudo do triângulo retângulo e do Teorema de Pitágoras. Os contextos estão em um vídeo e em um áudio em que os personagens discutem sobre triângulos em geral, sobre o triângulo retângulo e sobre o teorema de Pitágoras.
No vídeo uma adolescente relembra do seu primeiro contato com o Teorema de Pitágoras em que a professora apenas recitava o teorema, sem maiores explicações quanto à sua origem e quanto às suas aplicações. Após esta abordagem o vídeo mostra alguns objetos em que são aplicadas as características dos triângulos, em especial a estabilidade que os triângulos oferecem às estruturas físicas. Mostra-se triângulos nos tripés, nas construções civis (telhados e portões) e também em plantas monocotiledôneas que sempre apresentam formas trímeras. Após esta abordagem, parte-se para o estudo das especificidades do triângulo retângulo, desde a origem da nomenclatura até o teorema de Pitágoras com uma demostração visual deste teorema por meio de áreas em que a área do quadrado cujo lado é a medida da hipotenusa é a soma das áreas dos dois quadrados cujas medidas dos lados são as medidas dos catetos do mesmo triângulo.
No áudio discute-se o significado da palavra hipotenusa tratando dos radicais da palavra e seus significados e da formalização do Teorema de Pitágoras no contexto histórico.
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- Este teorema possui grande importância no estudo da Física como, por exemplo, para obtermos o módulo do vetor resultante, entre outras aplicações.
8. Adequações para alunos com necessidades especiais
Para alunos cegos, produzir as imagens que aparecem no vídeo usando cola relevo. Sugere-se essa elaboração especialmente para a imagem em que se demostra o teorema de Pitágoras.
9. Aprendizagem esperada
Espera-se que após esta sequência de aulas os alunos tenham compreendido a demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras, bem como sejam capazes de aplicar esse teorema na resolução de problemas simples que envolvem o cálculo da medida de um dos lados do triângulo retângulo, quando se conhecem as outras duas medidas.
Referências
ALMOULOUD, Saddo Ag e BASTIAN, Irma Verri. O teorema de Pitágoras: uma abordagem enfatizando o caráter necessário/suficiente. In:
Educação Matemática em revista. Ano 10. n. 14. São Paulo: SBEM, 2003.
BASTIAN, Irma Verri.
O teorema de Pitágoras. Dissertação (mestrado). São Paulo: PUC, 2000. 187 p. Disponível em http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/mydownloads_01/singlefile.php?cid=4&lid=1480. Acesso: mar/2013.
JAHN, Ana Paula e BONGIOVANNI, Vincenzo. O teorema de Pitágoras segundo a dialética ferramenta-objeto. IN: Revemat –
Revista Eletrônica de Educação Matemática. V 3.7, p.78-83, USC, 2008.
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